别人家的面试题：一个整数是否是“4”的N次幂俄罗斯贵宾会

2019-11-21

别人家的面试题：一个整数是否是“4”的N次幂

2016/05/30 · 基础技术 · 2 评论 · 算法

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这是 leetcode.com 的第二篇。与上一篇一样，我们讨论一道相对简单的问题，因为学习总讲究循序渐进。而且，就算是简单的问题，追求算法的极致的话，其中也是有大学问的。

别人家的面试题：统计“1”的个数

2016/05/27 · JavaScript · 5 评论 · Javascript, 算法

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小胡子哥 @Barret李靖给我推荐了一个写算法刷题的地方 leetcode.com，没有 ACM 那么难，但题目很有趣。而且据说这些题目都来源于一些公司的面试题。好吧，解解别人公司的面试题其实很好玩，既能整理思路锻炼能力，又不用担心漏题 ╮(╯▽╰)╭。

长话短说，让我们来看一道题：

“4”的整数次幂

给定一个32位有符号整数（32 bit signed integer），写一个函数，检查这个整数是否是“4”的N次幂，这里的N是非负整数。

例如：

给定 num = 16，返回 true，因为 16 = 4²
给定 num = 5，返回 flase

附加条件： 你能够不用循环和递归吗？

统计“1”的个数

给定一个非负整数 num，对于任意 i，0 ≤ i ≤ num，计算 i 的值对应的二进制数中 “1” 的个数，将这些结果返回为一个数组。

例如：

当 num = 5 时，返回值为 [0,1,1,2,1,2]。

/** * @param {number} num * @return {number[]} */ var countBits = function(num) { //在此处实现代码 };

/**

* @param {number} num

* @return {number[]}

var countBits = function(num) {

//在此处实现代码

};

解题思路

如果忽略“附加条件”，这题还挺简单的对吧？简直是信手拈来：

版本1

JavaScript

function isPowerOfFour(num){ while(!(num % 4)){ num /= 4; } return num === 1; }

function isPowerOfFour(num){

while(!(num % 4)){

num /= 4;

}

return num === 1;

}

版本1 好像很简单、很强大的样子，它的时间复杂度是 log₄N。有同学说，还可以做一些微小的改动：

版本1.1

JavaScript

function isPowerOfFour(num){ while(!(num % 4)){ num >>>= 2; } return num === 1; }

function isPowerOfFour(num){

while(!(num % 4)){

num >>>= 2;

}

return num === 1;

}

上面的代码用位移替代除法，在其他语言中更快，鉴于 JS 通常情况下非常坑的位运算操作，不一定速度能变快。

好了，最关键的是，不管是版本1 还是版本1.1 似乎都不满足我们前面提到的“附加条件”，即不使用循环和递归，或者说，我们需要寻找 O(1) 的解法。

按照惯例，大家先思考10秒钟，然后往下看 ——

解题思路

这道题咋一看还挺简单的，无非是：

实现一个方法 countBit，对任意非负整数 n，计算它的二进制数中“1”的个数
循环 i 从 0 到 num，求 countBit(i)，将值放在数组中返回。

JavaScript中，计算 countBit 可以取巧：

function countBit(n){ return n.toString(2).replace(/0/g,"").length; }

function countBit(n){

return n.toString(2).replace(/0/g,"").length;

}

上面的代码里，我们直接对 n 用 toString(2) 转成二进制表示的字符串，然后去掉其中的0，剩下的就是“1”的个数。

然后，我们写一下完整的程序：

版本1

function countBit(n){ return n.toString(2).replace(/0/g,'').length; } function countBits(nums){ var ret = []; for(var i = 0; i <= nums; i++){ ret.push(countBit(i)); } return ret; }

function countBit(n){

return n.toString(2).replace(/0/g,'').length;

}

function countBits(nums){

var ret = [];

for(var i = 0; i <= nums; i++){

ret.push(countBit(i));

}

return ret;

}

上面这种写法十分讨巧，好处是 countBit 利用 JavaScript 语言特性实现得十分简洁，坏处是如果将来要将它改写成其他语言的版本，就有可能懵B了，它不是很通用，而且它的性能还取决于 Number.prototype.toString(2) 和 String.prototype.replace 的实现。

所以为了追求更好的写法，我们有必要考虑一下 countBit 的通用实现法。

我们说，求一个整数的二进制表示中 “1” 的个数，最普通的当然是一个 O(logN) 的方法：

function countBit(n){ var ret = 0; while(n > 0){ ret += n & 1; n >>= 1; } return ret; }

function countBit(n){

var ret = 0;

while(n > 0){

ret += n & 1;

n >>= 1;

}

return ret;

}

俄罗斯贵宾会，所以我们有了版本2

这么实现也很简洁不是吗？但是这么实现是否最优？建议此处思考10秒钟再往下看。

不用循环和递归

其实这道题真心有好多种思路，计算指数之类的对数学系学霸们完全不是问题嘛：

版本2

JavaScript

const log4 = Math.log(4); function isPowerOfFour(num){ var n = Math.log(num) / log4; return n === (0|n); }

const log4 = Math.log(4);

function isPowerOfFour(num){

var n = Math.log(num) / log4;

return n === (0|n);

}

嗯，通过对数公式 log_m(n) = log(n) / log(m) 求出指数，然后判断指数是不是一个整数，这样就可以不用循环和递归解决问题。而且，还要注意细节，可以将 log4 当做常量抽取出来，这样不用每次都重复计算，果然是学霸范儿。

不过呢，利用 Math.log 方法也算是某种意义上的犯规吧，有没有不用数学函数，用原生方法来解决呢？

当然有了！而且还不止一种，大家可以继续想30秒，要至少想出一种哦 ——

更快的 countBit

上一个版本的 countBit 的时间复杂度已经是 O(logN) 了，难道还可以更快吗？当然是可以的，我们不需要去判断每一位是不是“1”，也能知道 n 的二进制中有几个“1”。

有一个诀窍，是基于以下一个定律：

对于任意 n， n ≥ 1，有如下等式成立：

countBit(n & (n - 1)) === countBit(n) - 1

1	countBit(n & (n - 1)) === countBit(n) - 1

这个很容易理解，大家只要想一下，对于任意 n，n – 1 的二进制数表示正好是 n 的二进制数的最末一个“1”退位，因此 n & n – 1 正好将 n 的最末一位“1”消去，例如：

6 的二进制数是 110， 5 = 6 – 1 的二进制数是 101，6 & 5 的二进制数是 110 & 101 == 100
88 的二进制数是 1011000，87 = 88 – 1 的二进制数是 1010111，88 & 87 的二进制数是 1011000 & 1010111 == 1010000

于是，我们有了一个更快的算法：

版本3

function countBit(n){ var ret = 0; while(n > 0){ ret++; n &= n - 1; } return ret; } function countBits(nums){ var ret = []; for(var i = 0; i <= nums; i++){ ret.push(countBit(i)); } return ret; }